למה מספר אחד לא מספיק

חברו נגד לשקע חשמל. המתח עולה ויורד חמישים פעם בשנייה, והזרם עולה ויורד איתו באותו רגע בדיוק. כדי לתאר את הקשר ביניהם מספיק מספר אחד: פי כמה הזרם קטן מהמתח. זו ההתנגדות.

עכשיו החליפו את הנגד בקבל. הזרם עדיין עולה ויורד חמישים פעם בשנייה, אבל הוא מגיע לשיא שלו לפני שהמתח מגיע לשיא שלו, ברבע מחזור. בתדר של 50 הרץ מחזור נמשך 20 מילישניות, ורבע מחזור הוא 5 מילישניות. הזרם מקדים את המתח בחמש אלפיות השנייה.

עכשיו נסו לתאר את זה במספר אחד. אי אפשר. צריך לומר שני דברים נפרדים: פי כמה, ובאיזה הפרש זמן. אפשר לכתוב אותם כשתי מילים בשתי שורות, ואז כל חישוב הופך לחשבונאות מייגעת. אפשר לכתוב אותם כאובייקט מתמטי אחד שיודע לכפול ולחלק בעצמו. האובייקט הזה הוא המספר המרוכב.

זו כל המוטיבציה. לא מספר שלא קיים, אלא מספר שיש לו שני רכיבים מפני שהתופעה שהוא מתאר היא דו רכיבית.

i, ומאיפה הוא באמת בא

הסיפור שמספרים בכיתה הוא שמישהו רצה לפתור את x²+1=0, לא מצא פתרון, והמציא אחד. זה לא מה שקרה. איש לא היה זקוק לפתרון של משוואה שאין לה פתרון. מי שמסתכל על פרבולה שאינה חותכת את ציר ה-x אומר שאין פתרון, וממשיך הלאה.

מה שבאמת קרה קרה במאה ה-16, במשוואות ממעלה שלישית. ג'ירולמו קרדאנו פרסם ב-1545 נוסחה לפתרון משוואה כזאת. הנוסחה עובדת, אבל יש בה מקרה מוזר: לפעמים, דווקא כשלמשוואה יש שלושה פתרונות ממשיים ומוכרים, הנוסחה עוברת בדרך אליהם דרך שורש של מספר שלילי.

הדוגמה שהפכה את זה לבלתי אפשרי להתעלמות היא x³ = 15x + 4. אפשר לבדוק בעין שהמספר 4 פותר אותה: 4 בשלישית הוא 64, ו-15 כפול 4 ועוד 4 הם גם 64. פתרון שלם, חיובי, שאין בו שום דבר מסתורי. אבל הנוסחה של קרדאנו מגיעה אליו רק דרך השורש של מינוס 121.

רפאל בומבלי החליט ב-1572 להמשיך לחשב במקום להיעצר. הוא ניסח כללי כפל לביטויים כאלה, גילה ש-(2+i) בשלישית הוא 2+11i, שהצירוף שלו עם בן זוגו נותן בדיוק 4, והשורשים המדומים מתבטלים בדרך. הם לא היו התשובה. הם היו המסלול.

זה ההבדל בין המצאה לגילוי. איש לא הזמין את i. הוא הופיע כמעבר הכרחי בין שאלה ממשית לתשובה ממשית, ולקח מאתיים שנה עד שהסכימו לקרוא לו מספר. השם מספר מדומה בא מרנה דקארט, שהתכוון לזלזל.

ההגדרה עצמה, i²=−1, אינה טענה על העולם. היא הרחבה: אנחנו מוסיפים אובייקט חדש למערכת המספרים, קובעים לו כלל כפל אחד, ובודקים מה קורה. מה שקורה הוא שכל חוקי החשבון ממשיכים לעבוד, ובנוסף כל משוואה פולינומית מקבלת פתרון. זו לא חוצפה, זו עסקה טובה.

שני שמות לאותה נקודה

מספר מרוכב נכתב a+bi, ואפשר לצייר אותו כנקודה במישור: a ימינה, b למעלה. המישור הזה נקרא המישור המרוכב, והרעיון לצייר בו הופיע רק בסוף המאה ה-18, אצל קספר וסל ואחר כך אצל ז'אן ארגאן וקרל פרידריך גאוס. הציור הוא שהפך את i ממוסכמה לדבר שאפשר להצביע עליו.

לכל נקודה במישור יש שתי דרכי תיאור, ושתיהן מלאות. אפשר לומר כמה ימינה וכמה למעלה, וזו הצורה a+bi. ואפשר לומר כמה רחוק מהראשית ובאיזו זווית, וזו הצורה הקוטבית: גודל וזווית.

קחו את 3+2i. הגודל הוא השורש של 9 ועוד 4, כלומר השורש של 13, שהוא 3.606. הזווית היא 33.69 מעלות. שתי הצורות מתארות את אותה נקודה בדיוק, והמעבר ביניהן הוא פיתגורס בכיוון אחד וטריגונומטריה בכיוון השני.

אז למה להחזיק שתי צורות. מפני שכל אחת נוחה לפעולה אחרת. חיבור קל בצורה a+bi: מחברים רכיב לרכיב, בדיוק כמו וקטורים. כפל קל בצורה הקוטבית, וזה הסעיף הבא.

כפל הוא סיבוב

זו התובנה שהופכת את הנושא כולו משעשוע למכשיר עבודה, והיא ניתנת לניסוח בשורה אחת. כשכופלים שני מספרים מרוכבים, הגדלים מוכפלים והזוויות מתחברות.

נבדוק. 3+2i הוא גודל 3.606 בזווית 33.69 מעלות. 1+i הוא גודל 1.414 בזווית 45 מעלות. המכפלה שלהם, אם פותחים סוגריים כרגיל וזוכרים ש-i² הוא מינוס אחד, היא 1+5i. הגודל של 1+5i הוא השורש של 26, כלומר 5.099, וזה בדיוק 3.606 כפול 1.414. הזווית שלו היא 78.69 מעלות, וזה בדיוק 33.69 ועוד 45.

המקרה המיוחד והשימושי ביותר הוא כפל ב-i עצמו. ל-i יש גודל 1 וזווית 90 מעלות, ולכן כפל בו אינו משנה שום גודל ורק מסובב ברבע סיבוב. 3+2i הופך ל-3i+2i², כלומר למינוס 2 ועוד 3i. הנקודה קפצה מזווית 33.69 לזווית 123.69, בדיוק תשעים מעלות, והמרחק מהראשית נשאר 3.606.

עכשיו אפשר לראות למה i²=−1 אינה גחמה. סיבוב של 90 מעלות פעמיים הוא סיבוב של 180 מעלות, כלומר היפוך כיוון. ומה עושה כפל במינוס אחד. היפוך כיוון. i הוא בדיוק המספר שחצי ממנו, בשפת סיבובים, הוא מינוס אחד. ההגדרה נגזרת מהגאומטריה, לא להפך.

וכאן הקשר לרבע המחזור שממנו התחלנו. עיכוב של רבע מחזור בין זרם למתח הוא סיבוב של תשעים מעלות. לכן קבל, שמעכב בדיוק רבע מחזור, נכנס לחישוב עם i. זה לא דימוי. זה אותו דבר.

נוסחת אוילר, ולמה מהנדס משתמש בה

אם כפל מחבר זוויות, ואם יש פונקציה אחת שהופכת חיבור לכפל, כדאי לחבר בין השניים. הפונקציה הזאת היא החזקה, ובסיסה הטבעי הוא e, המספר שהודפס כאן במהדורה הקודמת.

נוסחת אוילר אומרת ש-e בחזקת i כפול תטא שווה קוסינוס תטא ועוד i כפול סינוס תטא. בשפה פשוטה: e בחזקת i תטא הוא הנקודה שנמצאת על מעגל היחידה בזווית תטא. גודל אחד, זווית תטא, וזהו.

מכאן ההצדקה המלאה. כפל של e בחזקת i אלפא ב-e בחזקת i בטא הוא e בחזקת i של אלפא ועוד בטא, לפי חוק החזקות הרגיל. הכלל שהזוויות מתחברות אינו עובדה מפתיעה שצריך לזכור, הוא חוק חזקות.

כשמציבים תטא שווה פאי מקבלים את הזהות המפורסמת, e בחזקת i פאי שווה מינוס אחד. היא נשמעת מיסטית והיא לא. חצי סיבוב על מעגל היחידה מביא אותך מהנקודה 1 לנקודה מינוס 1. זה מה שהיא אומרת.

בשביל מהנדס זה לא אסתטיקה. גל בתדר קבוע הוא מספר מרוכב שמסתובב במהירות קבועה. אם כותבים אותו כ-e בחזקת i אומגה t, אז גזירה, שהיא הפעולה שמופיעה בכל משוואה של מעגל חשמלי, הופכת מהכפלה בקוסינוסים לכפל פשוט ב-i אומגה. משוואה דיפרנציאלית הופכת למשוואה אלגברית. זו לא קיצור דרך נוח, זו הסיבה שאפשר לנתח מעגלים בכלל.

איפה זה נפגש עם הכתבה הראשית

עכבה היא ההכללה של התנגדות למעגל שיש בו גם עיכוב, וכעת מובן למה היא חייבת להיות מספר מרוכב. החלק הממשי הוא מה שמבזבז אנרגיה לחום, כלומר התנגדות. החלק המדומה הוא מה שאוגר אנרגיה ומחזיר אותה רבע מחזור אחר כך, כלומר קיבול או השראה.

נגד בטור עם קבל: העכבה היא R ועוד אחד חלקי i אומגה C. עם נגד של 100 אוהם וקבל של 10 מיקרופאראד, בתדר של 100 הרץ, אומגה היא 628.3 רדיאן לשנייה, החלק המדומה הוא מינוס 159.2 אוהם, הגודל הוא 188.0 אוהם והזווית היא מינוס 57.9 מעלות. זה כל המידע: פי כמה, ובאיזה הפרש פאזה.

ועכשיו למה מציירים את זה. מדידת עכבה נעשית בהרבה תדרים, ובכל תדר מתקבל מספר מרוכב אחד. אם מציירים את כולם במישור המרוכב, מקבלים עקומה. זה בדיוק תרשים נייקוויסט שמופיע בכתבה הראשית של המהדורה הזאת.

עבור נגד וקבל במקביל העקומה הזאת היא חצי מעגל, ואפשר לחשב איפה בדיוק. עם אותם 100 אוהם ו-10 מיקרופאראד, בתדר נמוך מאוד העכבה היא כמעט 100 אוהם ממשיים, בתדר גבוה מאוד היא כמעט אפס, ובתדר 159.15 הרץ היא בדיוק 50 מינוס 50i, הנקודה הגבוהה ביותר של חצי המעגל. התדר הזה הוא אחד חלקי 2 פאי RC.

וכאן נכנסת הבעיה שהכתבה הראשית עוסקת בה. חצי המעגל הזה יפה, אבל צירופים אחרים של רכיבים יכולים לייצר עקומה זהה לחלוטין. המישור המרוכב אומר לכם מה המערכת עושה. הוא אינו אומר לכם ממה היא עשויה.

מה מספר מרוכב איננו

הוא אינו מדומה במובן של לא קיים. השם הזה הוא ירושה מדקארט, שהתכוון בו לביקורת. זרם חשמלי שמחושב דרך מספרים מרוכבים מפעיל מנוע אמיתי.

הוא אינו וקטור, אף שאפשר לצייר אותו כמו וקטור. לוקטורים במישור אין פעולת כפל שמחזירה וקטור ומקיימת את חוקי החשבון הרגילים. למספרים מרוכבים יש, וזה כל ההבדל.

הוא אינו סוף הסיפור. יש הרחבות נוספות, קווטרניונים בארבעה ממדים ואוקטוניונים בשמונה, ובכל הרחבה כזאת מוותרים על משהו. בקווטרניונים כפל כבר אינו חילופי, כלומר a כפול b אינו b כפול a. המספרים המרוכבים הם ההרחבה האחרונה שאינה גובה מחיר.

והוא אינו כלי שנוח לוותר עליו. כל מה שנעשה כאן ניתן לביצוע בזוגות של מספרים ממשיים ובנוסחאות טריגונומטריות. פשוט אף אחד לא עושה את זה, מפני שהניסוח המרוכב הופך שלושה שלבי חישוב לכפל אחד.