השאלה שממנה זה התחיל

יעקב ברנולי שאל בשנת 1683 שאלה על ריבית. נניח שיש לכם שקל אחד, והבנק מבטיח ריבית של 100% לשנה. בסוף השנה יהיו לכם שני שקלים.

עכשיו נניח שהבנק מחשב את הריבית פעמיים בשנה, 50% בכל פעם. אחרי חצי שנה יש 1.5 שקל, ובסוף השנה 1.5 כפול 1.5, כלומר 2.25. יותר משני שקלים, מאותה ריבית שנתית, רק מפני שהחצי הראשון הספיק להתחיל לצבור ריבית בעצמו.

אם מחשבים שתים עשרה פעמים בשנה מקבלים 2.6130. אם מחשבים כל יום, 365 פעמים, מקבלים 2.7146. ברנולי שאל את השאלה המתבקשת: אם מחלקים את השנה לאינסוף רגעים, האם הכסף גדל לאינסוף?

התשובה היא לא. הסכום נעצר. הוא מתקרב למספר 2.7182818 ולא עובר אותו. המספר הזה הוא e.

למה זה נעצר

כשמכפילים את מספר החלוקות, כל חלוקה תורמת פחות. חלוקה לשניים הוסיפה רבע שקל. חלוקה לשתים עשרה הוסיפה עוד 0.36. חלוקה ל-365 הוסיפה עוד 0.10 בלבד. התוספות קטנות מהר יותר משמספר החלוקות גדל, ולכן הסכום חסום.

הכניסה למספר לא מלמעלה אלא מלמטה: כל ערך בסדרה קטן מ-e, והם מטפסים אליו לאט. n של מיליון נותן 2.7182805. שישה ספרות נכונות תמורת מיליון פעולות.

הדרך השנייה: סכום של עצרות

יש נוסחה שנייה ל-e, שנראית בלי שום קשר לראשונה. סוכמים אחד חלקי עצרת, לכל מספר שלם: 1 ועוד 1 ועוד חצי ועוד שישית ועוד אחד חלקי 24, וכך הלאה.

הסכום הזה מתכנס מהר בצורה קיצונית. אחרי עשרה מחוברים הוא נותן 2.7182815, כשהערך האמיתי הוא 2.7182818. עשר פעולות חיבור השיגו מה שדרש מהגבול מיליון הכפלות.

ההבדל הזה הוא הסיבה שאף אחד לא מחשב את e מהנוסחה של ברנולי. הגבול מסביר מאיפה המספר בא, הטור מחשב אותו.

למה שתי הדרכים מגיעות לאותו מקום

אפשר לפתוח את הביטוי (1+1/n)^n לפי בינום ניוטון. מקבלים סכום של n+1 מחוברים, שהמחובר ה-k שבהם הוא אחד חלקי עצרת k, מוכפל בגורם תיקון של שברים כמו (1-1/n) ו-(1-2/n).

כשn גדל, כל גורמי התיקון האלה מתקרבים לאחד, ומספר המחוברים גדל. מה שנשאר בגבול הוא בדיוק הטור. שתי הנוסחאות אינן שתי הגדרות מקבילות שהתמזל מזלן להיפגש. הן אותו ביטוי, כתוב פעמיים.

התכונה שבגללה e בכל מקום

הפונקציה 2 בחזקת x גדלה, ולה יש קצב שינוי. הפונקציה 3 בחזקת x גדלה מהר יותר. לכל בסיס, קצב השינוי פרופורציוני לגובה הפונקציה, אבל עם מקדם כלשהו שאינו אחד.

יש בסיס אחד ויחיד שבו המקדם הזה הוא בדיוק אחד: הבסיס e. הנגזרת של e בחזקת x היא e בחזקת x. הגובה של הפונקציה בכל נקודה שווה לשיפוע שלה באותה נקודה.

זו כל התשובה לשאלה למה המספר הזה צץ בכל מקום שיש בו גדילה או דעיכה. אם קצב ההשתנות של גודל תלוי בגודל עצמו, וזה המצב בהתפרקות רדיואקטיבית, בהתקררות, בטעינת קבל ובריבית, אז e הוא הבסיס שבו התיאור נעשה פשוט. כל בסיס אחר עובד, רק שגורר אחריו מקדם מיותר.

איפה פוגשים את זה בחיים

בפיזיקה: כמות חומר רדיואקטיבי דועכת לפי e בחזקת מינוס למדא כפול הזמן. זמן מחצית החיים הוא לוגריתם טבעי של 2 חלקי למדא, כלומר 0.693 חלקי למדא. זו הסיבה שזמן מחצית חיים הוא קבוע ולא תלוי בכמה חומר יש.

בחשמל: קבל שנטען דרך נגד מגיע ל-63.2% מהמתח הסופי אחרי זמן של R כפול C. המספר 63.2 אינו מקרי, הוא אחד פחות אחד חלקי e.

בכוס קפה: חוק הקירור של ניוטון אומר שהפרש הטמפרטורה בין הקפה לחדר דועך לפי e. הקפה מתקרר מהר בהתחלה ולאט בסוף, מפני שקצב הקירור תלוי בהפרש שנותר.

בהחלטות: בבעיית המזכירה, כשצריך לבחור מועמד אחד מתוך רצף ואי אפשר לחזור אחורה, האסטרטגיה הטובה ביותר היא לדחות את ה-36.8% הראשונים ואז לקחת את הראשון שעולה על כולם. 36.8% הם אחד חלקי e, וגם סיכוי ההצלחה הוא 36.8%.

בפיננסים: ריבית שמחושבת ברציפות נותנת סכום של קרן כפול e בחזקת ריבית כפול זמן. זו התקרה שאליה מתכנסת ריבית דריבית כשמגדילים את תדירות החישוב.

מה e איננו

e אינו שבר. הוא מספר אי רציונלי, כפי שאוילר הוכיח, ומעבר לזה הוא טרנסצנדנטי: הרמיט הוכיח ב-1873 שאין שום משוואה פולינומית עם מקדמים שלמים שהוא פותר. 2.718 הוא קירוב, לא ערך.

e אינו קשור לפאי מעבר לזהות של אוילר, ואינו הבסיס ה"טבעי" במובן של נפוץ בטבע יותר מאחרים. הוא טבעי במובן טכני בלבד: הבסיס שבו הנגזרת יוצאת נקייה.

e אינו מספר הזהב ואינו קשור לסדרת פיבונאצ'י, בלבול נפוץ. ובניגוד לשמועה, האות e לא נבחרה על שם אוילר. הוא השתמש בה ב-1731 כנראה פשוט מפני ש-a עד d כבר היו תפוסות.